Chương 105: Màn Cuối Cùng【Canh Thứ Hai】

Vào năm Vũ Lịch thứ ba, Ly Tông và Liên Tông rất hiếm khi đạt được một sự đồng thuận hoàn toàn mới.

Một công thức, nếu trong toán lý Ly Tông và toán lý Liên Tông đều có nội hàm hoàn toàn nhất quán, thì có thể nói công thức này có “tính tuyệt đối”.

“Tính tuyệt đối” này, không nghi ngờ gì đã mang lại cho Ly Tông một loại “hy vọng”.

Đối với họ, đây gần như là sự cứu rỗi cuối cùng và phúc âm duy nhất có thể tìm thấy dưới đòn tấn công hủy diệt của Bất Chu Chi Toán.

Sự tồn tại của “tính tuyệt đối” có lẽ đang cho thấy rằng các thực thể toán học tồn tại phổ biến trong các hệ thống tiên đề toán học khác nhau.

Và nếu như vậy, bản thân thực thể toán học này có lẽ sẽ có tính chất “hoàn bị thực tế”.

Đây là hy vọng cuối cùng của họ.

Có lẽ họ cần tìm ra một con đường mới để khám phá ra tính chất của thực thể toán học này.

Về điểm này, mục đích của Phùng Lạc Y và Ca Đình Phái lại nhất trí một cách đáng ngạc nhiên.

Họ thậm chí còn tạm thời gác lại một số khác biệt, cùng nhau khám phá lĩnh vực này.

Và trong quá trình này, Hải Đình chân nhân cuối cùng cũng đã nổi bật lên.

Kể từ khi Ly Tông chứng minh logic trực giác chủ nghĩa không an toàn hơn logic cổ điển của Ca Đình Phái, hắn dường như đã biến thành một người khác, trầm lặng và ít nói.

Và trong sự kiện ở Lê Kinh, xu hướng tự kỷ của hắn càng trở nên nghiêm trọng hơn.

Nhưng, điều này không cản trở hắn tiếp tục tỏa sáng với tư cách là một nhà toán học.

Hắn lấy cảm hứng từ nghiên cứu liên tục thể của Tô Quân Vũ, du nhập thành quả nghiên cứu tập hợp thiện cơ trong công lý vô cùng của Phùng Lạc Y, sáng lập ra một trường phái hoàn toàn mới – chủ nghĩa cấu tạo.

Trong một lý thuyết nào đó, tất cả các thực thể được định nghĩa bằng hữu hạn ký hiệu cho đến khi dãy phản xạ duyệt qua “thứ tự của tất cả các số thứ tự” thì đó là một lớp có thể cấu tạo được.

Và công lý có thể cấu tạo chính là tuyên bố rằng tổng thể các tập hợp hợp pháp dưới dãy thiện cơ và “tập hợp có thể cấu tạo được” là bằng nhau.

Hắn kế thừa tư tưởng “toán học là sản phẩm được cấu tạo” của Toán Quân, nhưng lại dung nạp lý thuyết tập hợp mà Toán Quân ghê tởm, và đã hoàn thành chứng minh an toàn sơ bộ trên cơ sở tập hợp thiện cơ của Phùng Lạc Y.

Định nghĩa tức là cấu tạo, cấu tạo tức là chứng minh, chứng minh tức là chương trình.

Cũng chính vì vậy, hắn cũng có những đột phá nhỏ trong lý thuyết toán khí lọt vào tầm ngắm của Thiên Cơ Các.

Ca Đình Phái có chút kinh hãi về điều này.

Sự tồn tại của Phùng Lạc Y và Turing 【có lẽ còn có thể tính cả Vương Kỳ】 khiến Thiên Cơ Các, chi nhánh này của Vạn Pháp Môn luôn là hậu hoa viên của Ly Tông.

Cũng từng có tu sĩ Liên Tông bước vào đó, thậm chí có cả Toán Quân, kẻ đứng đầu Liên Tông đã phát triển ra một lý thuyết toán khí song song.

Nhưng, Hải Đình chân nhân đã chính thức bước vào đó.

Hắn thậm chí còn có xu hướng tỏ thiện chí với Ly Tông. Hải Đình chân nhân thậm chí còn chứng minh rằng, sự khác biệt then chốt giữa chủ nghĩa trực giác và các trường phái logic khác nằm ở chỗ “sử dụng hữu hạn ký hiệu, có thể thao túng được các thực thể vô cùng thậm chí siêu cùng hay không”.

Nhưng sự xuất hiện của Hải Đình chân nhân, đối với Cơ Phái mà nói, cũng không hoàn toàn là chuyện xấu.

Đồng thời với sự trỗi dậy của Hải Đình chân nhân, hắn cũng đề xuất nhiều thứ tương ứng với các lý thuyết trước đây của Ly Tông, khiến Ca Đình Phái có thể tự soi xét lại bản thân, phát hiện ra nhiều điều mà trước đây chưa chắc đã phát hiện được.

Họ phát hiện ra rằng, nhiều cấu trúc toán học giống nhau tồn tại rộng rãi trong các hệ thống tiên đề khác nhau. Việc lựa chọn hệ thống tiên đề chỉ ảnh hưởng đến số lượng cấu trúc toán học có thể được chứng minh.

Và việc lựa chọn và phân tích tiên đề thực ra chính là phán đoán xem những nguyên tắc cơ bản nào được coi là “điểm khởi đầu” và “tiêu chuẩn” của toán học.

Sự tồn tại của nhiều định đề không phải được thiết lập dựa trên sự đánh giá về nền tảng toán học, mà là do chính hoạt động nghiên cứu của các tu sĩ Vạn Pháp Môn cần những định đề này mới thiết lập nên 【ví dụ như định nghĩa phép cộng, định nghĩa phép trừ】.

Những điều này càng củng cố thêm niềm tin của Ly Tông vào “thực thể toán học”.

Cũng trong bối cảnh này, Tô Quân Vũ thông qua tư duy của Hải Đình chân nhân, đã đề xuất một thao tác kỳ lạ gọi là “mô hình truyền đạt”.

Nếu tồn tại một hệ thống tiên đề toán học Giáp, bản thân nó có tính nhất quán thì sẽ tồn tại mô hình của hệ thống này.

Đem tiên đề “hệ thống Giáp là nhất quán” này thêm vào hệ thống ban đầu, sẽ được “hệ thống Giáp là nhất quán được thêm vào hệ thống Giáp sau đó”. Sau đó, sẽ có “hệ thống Giáp là nhất quán được thêm vào hệ thống Giáp sau đó là nhất quán”. Lại đem “hệ thống Giáp là nhất quán được thêm vào hệ thống Giáp sau đó là nhất quán” thêm vào “hệ thống Giáp là nhất quán được thêm vào hệ thống Giáp sau đó”… cứ lặp đi lặp lại như vậy, cho đến vô cùng.

Vậy thì, “tính nhất quán” của hệ thống Giáp sẽ truyền đạt đến chính “vô cùng” trở thành một tính chất của “vô cùng đếm được”.

Điều này khiến Tô Quân Vũ có được sự thăng tiến cực lớn, thậm chí gần như đã lên đến Luyện Hư kỳ.

Bây giờ hắn ngược lại phải giống như Vương Kỳ lúc trước, áp chế tu vi của mình để điều chỉnh công thể bản thân.

Và dưới tư tưởng của mô hình truyền đạt, “mô hình cấu tạo” một lần nữa được thần thánh hóa.

Phép toán của lớp có thể cấu tạo, đối với bất kỳ mô hình truyền đạt nào của tiên đề toán học đều là “tuyệt đối”.

Một chuyện rất hiếm thấy đã xảy ra.

Dưới sự nỗ lực chung của Liên Tông và Ly Tông, một thành quả toán học được cả Ly Tông và Liên Tông công nhận đã được thiết lập.

Thế là, vào lúc này, tiếng xấu “phản đồ Liên Tông” của Hải Đình chân nhân thậm chí còn vượt qua tổng số những lời gọi “phản đồ Ly Tông” mà Trần Do Gia, Phùng Lạc Y, Vương Kỳ nhận được.

Ngay cả bản thân Hải Đình chân nhân cũng không thể không một lần nữa vượt qua Tiên Lộ, lựa chọn tạm thời lánh nạn.

Nhưng, bản thân hắn không còn quan tâm đến những điều này nữa.

Hắn lại một lần nữa đứng ở thế bất bại.

Giống như công lý vô cùng mà Phùng Lạc Y đã chứng minh, dưới tập hợp thiện cơ, mệnh đề toàn tập bằng lớp có thể cấu tạo không thể chứng minh là sai.

Hắn đã đứng ở thế bất bại.

Phái cấu tạo đã đứng ở thế bất bại.

Dù Toán Quân có thể một chưởng đánh chết hắn, cũng không thể thay đổi kết quả này.

Đối với điểm này, Phùng Lạc Y lại không vui vẻ gì.

Hắn thở dài: “Lúc đầu ta đồng ý với Ca Đình Phái, chỉ nghĩ rằng muốn minh oan cho công lý vô cùng và luật bài trung, minh oan cho Ly Tông, cũng coi như là bù đắp… thảm họa do Bất Chu Chi Toán của Vương Kỳ mang lại. Ta thật sự không ngờ mọi chuyện lại thành ra thế này.”

Vạn Pháp Môn hoàn toàn điên rồi.

Ly Tông và Liên Tông đều đã lộ rõ khuynh hướng “bất chấp tất cả”. Họ đã không còn quan tâm đến tương lai của mình sẽ ra sao, chỉ muốn dốc toàn lực, dìm chết đối thủ trong vũng bùn này – dù cho chính họ cũng đang lún sâu trong đó.

Không chỉ giữa Ly Tông và Liên Tông như vậy, Ly Tông đối với Ly Tông, Liên Tông đối với Liên Tông cũng ra tay không chút nể tình.

Hải Đình chân nhân chính là một ví dụ. Hắn rõ ràng có không ít người hưởng ứng, nhưng lại chỉ có thể rút lui khỏi phạm vi thế lực của Toán Quân này.

Mà Phùng Lạc Y cũng cảm nhận được chút ác ý từ Ca Đình Phái.

Ngược lại là Tô Quân Vũ vẫn đang hưởng ứng Ca Đình.

Nhưng Phùng Lạc Y biết, kẻ họ Phạn đó thậm chí vẫn đang cố gắng “chỉ điểm” cho Tô Quân Vũ.

Hắn đã phát hiện ra hai ba bức thư “chỉ điểm” mang ác ý như vậy rồi.

Nhưng, tên khốn phân cầu đó lại từ trước đến nay chỉ dùng dương mưu.

E rằng hắn đã nhìn ra điều gì đó rồi?

Dù Trần Do Gia và Tô Quân Vũ đều đã thể hiện những khuynh hướng khác với Vương Kỳ, nhưng, họ đã trao đổi với Vương Kỳ trong thời gian dài, quan điểm cơ bản về toán học cuối cùng vẫn nhất trí với Vương Kỳ.

Họ tồn tại một “mục tiêu cuối cùng” hoàn toàn nhất quán, cùng hướng về một bức tranh giống nhau.

Toán học là tự do tự tại, không thay đổi theo ý chí của con người.

Vì vậy, những điều Phạn Ba Hách biết sẽ không bị thay đổi bởi ý chí của Tô Quân Vũ hay Trần Do Gia.

Điều này thật sự đáng sợ.

Turing Chân Nhân cũng lắc đầu: “Trong tình huống này… kẻ nhìn về phía trước đó lại còn mang theo lời tiên tri không may mắn…”

Ly Tông và Liên Tông, Ca Đình và Thiểu Lê, hai bên coi như nghiền ép lẫn nhau. Mặc dù đều có thành quả, nhưng cũng đã phá hủy không ít thành tựu của đối phương.

Trong khi đạt được những tiến bộ vượt bậc, cả hai bên cũng đều bị tổn thương nguyên khí.

Và trong tình huống này, Vương Kỳ, người đang ở nơi xa xôi chuyên tâm biên soạn Nguyên Toán, đã trở thành “ngôi sao hy vọng” hiếm hoi còn sót lại của Vạn Pháp Môn hiện tại.

Nhưng rất đáng tiếc là… mười năm, không, không đúng, chưa đến bảy năm nữa, “ngôi sao hy vọng” này cũng có nguy cơ rơi rụng.

Rất nhiều người đều cảm thấy toán lý của Vương Kỳ cũng có thể tồn tại lỗ hổng lớn.

— Đây gần như là điệu nhạc tự diệt cả môn của Vạn Pháp Môn.

Ý nghĩ tuyệt vọng này đã xuất hiện không chỉ một lần.

Phùng Lạc Y không tỏ ý kiến.

Và vào mùa đông năm đó, Ca Đình Phái không mấy vui vẻ tuyên bố mình dường như đã hoàn thành chứng minh sâu hơn về vấn đề thứ nhất trong hai mươi ba vấn đề của Hy Môn.

Sâu hơn cả của Tô Quân Vũ.

Họ đề xuất khái niệm “mô hình nội”.

Bất kỳ mô hình truyền đạt nào chứa “thứ tự của tất cả các số thứ tự” đều là “mô hình nội”.

Lớp có thể cấu tạo là mô hình nội nhỏ nhất.

Trong lớp có thể cấu tạo, lực lượng của tập hợp vô hạn nhất định là dạng lũy thừa của hai. Do đó, giả thuyết liên tục tổng quát là đúng.

Và bất kỳ hình thức tương đương hoặc thu hẹp nào của giả thuyết liên tục tổng quát đều không thể chứng minh là sai.

Sau khi mượn định nghĩa của Liên Tông mới, họ cuối cùng cũng đã tiến thêm một bước.

Cảnh tượng này thật sự kỳ quặc, đến mức tiếng reo hò cổ vũ trong nội bộ Ca Đình cũng thưa thớt.

Họ cũng tiện thể hoàn thành việc khám phá tiên đề lựa chọn.

Và vào lúc này, có một người thể hiện sự bất mãn rõ ràng.

Tô Quân Vũ thở dài: “Liên tục thể à… phần tiếp theo của nó không nên như thế này.”

Chứng minh sơ bộ về giả thuyết liên tục là do hắn hoàn thành. Hắn đối với vấn đề này, cũng có tình cảm.

Đối với hắn, mô hình nội thực sự vi phạm cảm nhận trực quan, vi phạm “mỹ học” mà hắn sở hữu với tư cách là một tu sĩ Cơ Phái.

Nói thế nào nhỉ…

Quá không thoải mái.

“Vòng lặp là hiện tượng bất biến nhất của vũ trụ. Xóa bỏ vòng lặp trong toán học, từ chối mô hình hóa vòng lặp, gần như là…”

Hắn lắc đầu. Vương Kỳ hiện tại là cấp trên của hắn, còn Phùng Lạc Y là sư phụ của Vương Kỳ. Nhưng hắn vẫn không thích khái niệm tập hợp thiện cơ… ừm, e rằng Vương Kỳ cũng sẽ không thích lắm?

Mặt khác, Hải Đình chân nhân cũng vậy.

Cho rằng trong tổng thể lý thuyết tập hợp chỉ tồn tại “tập hợp có thể cấu tạo” e rằng quá lạc quan.

Nói cho cùng, toàn bộ “mô hình nội” chính là phát triển trên tư duy “tính nhất quán tương đối”.

Tính nhất quán tương đối, bản thân nó đã có ý nghĩa “miễn cưỡng chấp nhận”.

Thông qua việc từ bỏ những thứ không thể cùng tồn tại, từ đó đạt được sự nhất quán.

Gọt chân cho vừa giày, chặt ngón chân tránh sâu.

Hắn muốn thứ gì đó mạnh mẽ hơn…

Chú thích cho các thuật ngữ khoa học xuất hiện trong đoạn văn vừa rồi:

Tính tuyệt đối (绝对性 – Tuyệt Đối Tính): Absoluteness. Trong logic toán học, một công thức hoặc một khái niệm được gọi là tuyệt đối đối với một lớp các mô hình nếu nó có cùng một ý nghĩa (hoặc tính đúng đắn) trong tất cả các mô hình thuộc lớp đó. Ví dụ, một số mệnh đề có thể đúng trong một số mô hình của ZFC nhưng sai trong các mô hình khác; những mệnh đề như vậy không tuyệt đối.

Dãy phản xạ (反射序列 – Phản Xạ Tự Liệt): Reflection principle. Trong lý thuyết tập hợp, các nguyên lý phản xạ khẳng định rằng các tính chất đúng trong toàn bộ vũ trụ tập hợp V cũng đúng trong một số tập hợp ban đầu (initial segment) nhỏ hơn của V. Điều này liên quan đến ý tưởng rằng các tập hợp lớn hơn “phản ánh” các tính chất của toàn bộ vũ trụ.

Lớp có thể cấu tạo được (可构造类 – Khả Cấu Tạo Loại): Constructible universe (ký hiệu là L). Đây là một lớp các tập hợp được định nghĩa bởi Kurt Gödel. L được xây dựng theo từng giai đoạn, bắt đầu từ tập hợp rỗng và ở mỗi giai đoạn kế tiếp, thêm vào tất cả các tập hợp có thể định nghĩa được (definable) từ các tập hợp đã có ở giai đoạn trước. Tiên đề về tính cấu tạo (Axiom of Constructibility, V=L) khẳng định rằng mọi tập hợp đều có thể cấu tạo được (tức là, mọi tập hợp đều thuộc L).

Siêu cùng (超穷 – Siêu Cùng): Transfinite. Thuật ngữ dùng để mô tả các số (như số thứ tự và số lực lượng) lớn hơn tất cả các số hữu hạn.

Mô hình truyền đạt (传递模型 – Truyền Đạt Mô Hình): Transitive model. Trong lý thuyết tập hợp, một tập hợp M được gọi là truyền đạt nếu với mọi x ∈ M và mọi y ∈ x, thì y ∈ M. Một mô hình của một lý thuyết (ví dụ, ZFC) được gọi là mô hình truyền đạt nếu miền của nó là một tập hợp truyền đạt.

Tính nhất quán (一致性 – Nhất Trí Tính): Consistency. Một hệ tiên đề được gọi là nhất quán nếu nó không chứa đựng mâu thuẫn, tức là không thể suy ra được cả một mệnh đề P và phủ định của nó ¬P từ các tiên đề.

Vô cùng đếm được (可数无穷 – Khả Số Vô Cùng): Countably infinite. Một tập hợp được gọi là vô cùng đếm được nếu nó có cùng lực lượng với tập hợp các số tự nhiên (tức là, có thể thiết lập một song ánh giữa các phần tử của nó và các số tự nhiên).

Mô hình cấu tạo (构造性模型 – Cấu Tạo Tính Mô Hình): Constructible model. Một mô hình mà các đối tượng của nó được xây dựng theo một quy trình xác định, thường liên quan đến lớp L của Gödel.

Mô hình nội (内模型 – mô hình nội): Inner model. Một mô hình nội của lý thuyết tập hợp ZFC là một lớp truyền đạt M chứa tất cả các số thứ tự và thỏa mãn tất cả các tiên đề của ZFC. Lớp L (vũ trụ cấu tạo) là ví dụ quan trọng nhất về một mô hình nội.

Lực lượng của tập hợp vô hạn (无限集的基数 – Vô Hạn Tập Đích Cơ Số): Cardinality of an infinite set. Số lượng phần tử trong một tập hợp vô hạn.

Giả thuyết liên tục tổng quát (广义连续统假设 – Quảng Nghĩa Liên Tục Thể Giả Thiết): Generalized Continuum Hypothesis (GCH). Một giả thuyết trong lý thuyết tập hợp phát biểu rằng với mọi số thứ tự vô hạn α, 2supℵsubα/sub/sup = ℵsubα+1/sub. Giả thuyết liên tục (CH) là trường hợp đặc biệt khi α=0: 2supℵ₀/sup = ℵ₁. Gödel đã chứng minh rằng GCH nhất quán với ZFC (nếu ZFC nhất quán) bằng cách chỉ ra rằng GCH đúng trong mô hình nội L. Paul Cohen sau đó đã chứng minh rằng phủ định của CH (và do đó là phủ định của GCH) cũng nhất quán với ZFC.

Tính nhất quán tương đối (相对一致性 – Tương Đối Nhất Trí Tính): Relative consistency. Một lý thuyết T’ được cho là nhất quán tương đối với một lý thuyết T nếu tính nhất quán của T kéo theo tính nhất quán của T’. Ví dụ, Gödel đã chứng minh rằng ZFC + V=L nhất quán nếu ZFC nhất quán.