Chương 101: Bùng Nổ【Canh Thứ Hai】

Phát súng đầu tiên cho đại thế tranh đoạt này là Phùng Lạc Y.

Mặc dù Ca Đình Trai đã giao phó cho Hà Ngoại Nhĩ, thủ đồ của Toán Chủ, một tu sĩ Liên Tông, nhưng Ca Đình Phái vẫn là chính thống của Ly Tông, vẫn là dòng chính của Toán Chủ. Điểm này từ trước đến nay chưa từng vì Hà Ngoại Nhĩ hay bất kỳ một cá nhân nào khác mà dễ dàng thay đổi.

Có lẽ trăm năm sau, Ca Đình Trai cuối cùng sẽ biến thành một dáng vẻ khác, nhưng một mình Hà Ngoại Nhĩ cuối cùng vẫn không cách nào xoay chuyển được tảng đá này.

Tu sĩ cốt lõi nhất của Ca Đình Phái đã giết đến đỏ cả mắt, dốc hết tâm tư muốn đánh đồng toán lý Liên Tông với bộ phận toán lý Ly Tông đã bị Bất Chu Chi Toán đánh bại, đem bọn họ cũng đưa vào phạm vi công kích của Bất Chu Chi Toán.

Nhưng người đầu tiên hoàn thành thành quả, lại vẫn là Phùng Lạc Y – vị thiên tài được mệnh danh là “phi nhân” này.

Nên nói rằng, Phùng Lạc Y đã tìm ra một hướng đi hoàn toàn mới.

Họ tuyên bố những tư duy trước thời đại tập hợp luận đều có vấn đề.

Không nên bắt đầu từ “toàn bộ” mà nên bắt đầu từ “không”.

Tất cả các “tập hợp” đều phải bắt đầu từ “tập hợp rỗng” tiến hành xây dựng.

Hoặc nói, chỉ có những tập hợp được xây dựng từ tập hợp rỗng mới được thừa nhận là tập hợp hợp pháp.

Ngoài ra, các tập hợp khác đều có vấn đề, đều là những lâu đài trên không trung đã bị Bất Chu Chi Toán rút mất nền tảng.

Bất luận là tập hợp hữu hạn hay tập hợp vô hạn, đều phải bắt đầu từ “tập hợp rỗng”.

Tập hợp rỗng ∅ tương ứng với 0, {∅} tương ứng với 1, {∅ {∅) tương ứng với 2. Nếu tất cả các tập hợp, bao gồm cả tập hợp vô hạn đều có thứ tự tốt tương tự, vậy thì, vậy thì có thể thực hiện quy nạp siêu việt vô hạn – giống như quy nạp toán học thông thường.

Sau đó, thành tựu tối cao của Ly Tông là “Thiên Lý Hệ Thống” 【Hệ tiên đề ZF】 toàn bộ tiên đề của nó đều có thể thực hiện trong tập hợp thiện cơ.

Đây chính là mệnh đề của Phùng Lạc Y.

Vị thiên tài này đã lần lượt dùng hai bài luận văn, hoàn thành luận chứng vĩ đại này.

Bất kỳ chứng minh cấu tạo nào cũng phải có độ dài hữu hạn, chứng minh về mâu thuẫn cũng không ngoại lệ. Mà công lý vô cùng – công lý tồn tại tập hợp vô hạn các số tự nhiên chỉ vận dụng đến phép toán kế tiếp và phép toán tập hợp rỗng. Hai phép toán này trong toán lý của Liên Tông đều có sự tương ứng. Do đó, hai toán lý này, giữa toán lý Liên Tông và toán lý Ly Tông là tuyệt đối. Nói cách khác, toán lý Ly Tông và toán lý Liên Tông thực ra tồn tại sự nhất quán nội tại ở mức độ đáng kể.

Đây chính là “tính tuyệt đối” của hai loại toán lý.

Do đó, nếu công lý vô cùng có mâu thuẫn, thì mâu thuẫn này cũng sẽ thông qua một quá trình phiên dịch “hữu hạn” xuất hiện trong toán lý.

Công lý vô cùng là an toàn.

Bài luận văn này vừa ra liền khiến tu sĩ Liên Tông nôn ra máu trên diện rộng.

Ai cũng biết, Liên Tông, đặc biệt là Thiểu Lê Phái đại diện cho Liên Tông cận đại chính là phủ nhận “vô cùng” và “luật bài trung”. Toán Quân cho rằng thế giới vật chất không tồn tại đối tượng vô cùng, thế giới toán học cũng không nên tồn tại đối tượng vô cùng.

Điều này đã làm lung lay tận gốc rễ của Liên Tông.

Vô số toán gia Liên Tông vò đầu bứt tai, hận không thể lập tức viết luận văn phản kích Phùng Lạc Y.

Nhưng, rất nhanh, bài luận văn thứ hai của Phùng Lạc Y đã khiến tất cả các cuộc tranh luận đều im hơi lặng tiếng.

“Nếu lấy hình thức phủ định của công lý vô cùng làm công lý, mâu thuẫn trong thứ tự tốt hữu hạn cũng sẽ càng dễ dàng thể hiện trên các công lý khác.”

“Do đó, ở một ý nghĩa nào đó, công lý vô cùng không thể chứng minh là đúng, cũng không thể chứng minh là sai.”

Lần này giống như sét đánh ngang tai, trấn áp tất cả toán gia Liên Tông đến không nói nên lời.

Thông thường mà nói, “tính khả chứng sai” chính là nền tảng của Kim Pháp Tiên Đạo. Những thứ không có tính khả chứng sai không có giá trị thảo luận.

Nhưng, địa vị của toán học lại hơi đặc thù một chút.

Ngay cả những nhà toán học đó cũng không nói rõ được, công việc của mình rốt cuộc là “phát hiện” hay là “phát minh”.

Về điểm này, Toán Quân và Vương Kỳ tuyệt đối giữ quan điểm hoàn toàn trái ngược.

Đương nhiên, ở tầng thứ của Mỹ Thần mà xem, loại tranh chấp này hoàn toàn là một trò cười.

Vương Kỳ sau khi gặp gỡ Mỹ Thần, cũng có khuynh hướng này.

Hắn thậm chí còn viết trong lời tựa của Hình Thức Ngôn Ngữ Học rằng, loại tranh luận này thuần túy là do ngôn ngữ tự nhiên hỗn loạn mà thôi, không phải phân biệt ra hai khái niệm hoàn toàn khác nhau là “phát hiện” và “phát minh”.

Nhưng dù sao đi nữa, trong lĩnh vực toán học, một lý thuyết không thể chứng minh là đúng cũng không thể chứng minh là sai, được phép tồn tại.

Nhưng nó giống như thần học vậy, tự nó hình thành một thể thống nhất trong logic của chính nó.

Dù muốn phá hủy nó, cũng rất khó ra tay.

Đối với người bình thường, đây chính là một vùng đất chưa biết “không biết rốt cuộc có cái gì”.

Nhưng Phùng Lạc Y khéo ở chỗ, ngay từ đầu, hắn đã trực tiếp chứng minh một điểm khác.

Công lý vô hạn là an toàn.

“Không biết bên trong có gì” nhưng là “an toàn”.

Điều này cũng từ một khía cạnh khác cho thấy sự phê phán của Liên Tông đối với khái niệm “vô cùng” thực sự không có ý nghĩa gì.

Mà luận văn của Trần Do Gia cũng theo sát phía sau được tung ra.

Lần này lại khiến tất cả tu sĩ Ly Tông khó chịu một trận.

Thậm chí có người tại chỗ mắng lớn: “Phản đồ!”

Ly Tông phản đồ!

Trong quá khứ, hầu hết tất cả các tu sĩ đều coi Cơ Phái là Ly Tông một cách hiển nhiên. Vương Kỳ cũng đã thể hiện rõ lập trường Ly Tông của mình.

Mà bây giờ, Trần Do Gia, một tu sĩ Ly Tông lại công bố một bài luận văn mang khuynh hướng Liên Tông rõ ràng.

Điều này lại khiến họ sao không tức giận? Sao có thể không tức giận?

Nhưng người tức giận hơn họ, lại là đông đảo đệ tử cơ sở của Thiên Cơ Các.

Lý thuyết kiểu trực tiếp xóa bỏ hoàn chỉnh Turing, xóa bỏ vòng lặp.

Turing Chân Nhân bản thân thì cảm thấy khá thú vị, thậm chí còn coi đó là một đề tài giao cho cấp dưới.

Nhưng đệ tử Thiên Cơ Các sau khi phát hiện ra điều này, liền lập tức sôi trào.

Đối với họ, một hệ thống toán khí không có hoàn chỉnh Turing, không có vòng lặp, là không thể tưởng tượng nổi.

Họ cảm thấy thánh địa của mình bị xâm phạm.

“Tự do bay lượn” trong quá khứ giờ đây đã biến thành “nhảy múa với xiềng xích”.

Tiếng hô “Ly Tông phản đồ” đối với Trần Do Gia cũng ầm ĩ khắp Thiên Cơ Các.

Đối với điều này, Turing Chân Nhân cũng chỉ biết cười khổ: “Chuyện này… hình như là ta có lỗi với cô nương đó rồi.”

Phùng Lạc Y lắc đầu: “Cứ để họ náo loạn đi. Đối với những kẻ không có tâm với toán lý này, lý thuyết của nha đầu đó có tác dụng gì, tương lai họ sẽ biết thôi.”

“Ngươi nói là đem ‘Lý thuyết kiểu’ đưa vào ‘hoàn chỉnh Turing’ sao?” Turing Chân Nhân cười: “Ta mấy ngày nay đã suy nghĩ rồi, có lẽ sẽ sinh ra bất hòa ác tính.”

“Nhưng Vương Kỳ nói với ta, điều này lại có thể làm giảm đáng kể ngưỡng cửa của thuật toán khí.” Phùng Lạc Y nói.

Do có sự phổ biến của Vạn Tượng Quái Văn, hắn vẫn tin tưởng vào nhãn quang của đệ tử mình về phương diện này.

“Chỉ sợ cái này không dính dáng gì đến cả hai, lúc mấu chốt lại hỏng việc.” Turing Chân Nhân có chút do dự. Ngôn ngữ đi kèm với lý thuyết kiểu, chỉ cần có một chút sai sót nhỏ, sẽ trực tiếp dừng máy, coi như an toàn. Mà phương pháp sử dụng trước đây tuy sẽ cho ra kết quả không xác định, nhưng do tu sĩ đã quen thuộc với lĩnh vực này, nên cũng rất ít khi xảy ra sự cố vào thời điểm quan trọng.

Nhưng nếu thật sự kết hợp cả hai…

Đánh đến lúc mấu chốt mà toán khí bị treo thì làm sao?

“Nếu là pháp khí chính thì đương nhiên nói khác, nhưng lúc tu luyện, quả thực có ưu thế.” Phùng Lạc Y nói.

Turing Chân Nhân đột nhiên cười nói: “Nguyệt Hàn huynh bây giờ lại ra vẻ không liên quan gì đến mình. Ngươi chẳng lẽ không biết sao? Làn gió ‘Ly Tông phản đồ’ này cũng thổi đến ngươi rồi đó?”

Phùng Lạc Y mi mắt cụp xuống: “Chẳng qua chỉ là một đám phần tử ngoan cố… lũ già cổ hủ không chịu thay đổi mà thôi. Một cái Bất Chu Chi Toán cũng không khiến chúng nhìn rõ chân tướng, vậy thì chúng cũng chỉ đến thế thôi.”

Thực tế, luận văn của Phùng Lạc Y, trong nội bộ Ly Tông, cũng không phải không có tiếng nói phản đối.

Ban đầu cũng chính vì tiếng nói phản đối của tu sĩ Thiên Cơ Các đối với Trần Do Gia mới dẫn đến một làn sóng phản đối khác.

Có một số tu sĩ Ly Tông đều cảm thấy Phùng Lạc Y điên rồi.

Hắn lại loại bỏ khái niệm “vòng lặp”!

Vòng lặp là một khái niệm tồn tại rộng rãi trong tự nhiên. Chu trình linh lực đại diện cho sự hô hấp của trời đất, hoàn lưu khí quyển, chu trình của nước đều là một loại vòng lặp.

Vì vậy, thứ như vòng lặp, đáng lẽ phải tồn tại trong toán học – thực tế, nó thậm chí còn là một phần quan trọng trong công pháp của Vạn Pháp Môn.

“Vòng lặp không thể bị loại bỏ khỏi logic.”

Những tu sĩ Ly Tông đó nói như vậy.

Trần Do Gia và Phùng Lạc Y đều đi theo con đường “đoạn tự chỉ” trong “hai con đường” của Toán Chủ.

Thậm chí hai người cũng ở một mức độ nào đó đã truyền cảm hứng cho nhau.

Chỉ có điều từ căn cơ mà nói, Phùng Lạc Y là Ly Tông chính thống nhất, còn Trần Do Gia thì đã tiếp thu không ít tư tưởng Liên Tông từ Toán Quân.

Nhưng họ lại cùng hướng về một phương hướng.

Phùng Lạc Y từ trước đến nay không hề để tâm đến những chuyện nhỏ nhặt này. Hắn nói với Turing Chân Nhân: “Nội bộ Ca Đình Phái không có tiếng nói phản đối là đủ rồi. Tiếp theo, cứ xem bọn họ đi?”

Turing Chân Nhân không tỏ ý kiến. Ai cũng biết Ca Đình Phái lúc này đã là đặt mình vào chỗ chết để tìm đường sống.

Dưới sự nghiền ép của Bất Chu Chi Toán, họ cũng không còn lo nghĩ được nhiều nữa.

Tuy nhiên, Turing Chân Nhân không ngờ rằng, vài ngày sau, đòn phản công tuyệt vọng của Ca Đình Phái lại đến mãnh liệt như vậy.

Thực tế, cũng chính là thủ đoạn chuyển hóa thường xuyên toán lý Liên Tông, Ly Tông của Phùng Lạc Y đã thu hút sự chú ý của họ.

Từ đó, họ đã tinh luyện ra một hàm số vô danh ở tầng logic.

“Song trọng phủ định phiên dịch”. 【Trên Trái Đất gọi là phiên dịch “Gödel-Gentzen”】

“Giả sử luật bài trung có mâu thuẫn, thì có thể cấu tạo ra chứng minh phủ định của giả thuyết này”.

“Mà luật bài trung thì có thể tương đương với việc loại bỏ song trọng phủ định”.

Đây là hai luận đề đã có chứng minh sơ bộ.

Và đúng lúc này, Ca Đình Phái đã đưa ra một ý tưởng tiến xa hơn.

“Nếu từ chứng minh trong logic cổ điển, thêm vào song trọng phủ định, vậy thì chứng minh này có thể tương đương với chứng minh cấu tạo của chủ nghĩa trực giác không?”

Nói cách khác, nếu loại bỏ phần thuộc về “luật bài trung” trong toán lý của Ca Đình Phái, vậy thì, thứ này có phải sẽ tương đương với chứng minh cấu tạo của Thiểu Lê Phái không?

Đáp án là “phải”.

Nó dùng toán lý Liên Tông phản đối luật bài trung để xác định rằng luật bài trung mà Liên Tông phản đối cũng là an toàn.

An toàn như công lý vô cùng.

Nói cách khác…

Toán lý Liên Tông không hề an toàn hơn toán lý Ly Tông bao nhiêu.

Chú thích cho các thuật ngữ khoa học xuất hiện trong đoạn văn vừa rồi:

Quy nạp toán học (数学归纳 – Toán Học Quy Nạp): Một phương pháp chứng minh toán học thường được sử dụng để chứng minh rằng một mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n.

Quy nạp siêu việt vô hạn (超越无限的归纳 – Siêu Việt Vô Hạn Đích Quy Nạp): Còn gọi là quy nạp siêu hạn (Transfinite Induction) một mở rộng của quy nạp toán học cho các tập hợp có thứ tự tốt, bao gồm cả các tập hợp vô hạn.

Hệ tiên đề ZF (ZF公理体系 – ZF Công Lý Hệ Thống): Hệ tiên đề Zermelo–Fraenkel, một trong những hệ tiên đề chuẩn cho lý thuyết tập hợp.

Tập hợp thiện cơ (良基集合 – Lương Cơ Tập Hợp): Tập hợp có thứ tự tốt (well-founded set) nghĩa là mọi tập con không rỗng của nó đều có một phần tử tối thiểu. Tiên đề về tính thiện cơ (Axiom of Regularity/Foundation) trong ZF đảm bảo rằng không có chuỗi vô hạn giảm dần các tập hợp theo quan hệ “thuộc về”.

Công lý vô cùng (无穷公理 – Vô Cùng Công Lý): Tiên đề vô hạn (Axiom of Infinity) một tiên đề trong lý thuyết tập hợp khẳng định sự tồn tại của ít nhất một tập hợp vô hạn (cụ thể là tập hợp các số tự nhiên).

Luật bài trung (排中律 – Bài Trung Luật): Nguyên lý loại trừ phần tử thứ ba (Law of Excluded Middle) một nguyên lý trong logic cổ điển phát biểu rằng với mọi mệnh đề P, thì “P hoặc không P” là đúng. Chủ nghĩa trực giác không chấp nhận nguyên lý này một cách phổ quát.

Tính khả chứng sai (可证伪性 – Khả Chứng Ngụy Tính): Khả năng một lý thuyết khoa học có thể được chứng minh là sai thông qua thực nghiệm hoặc quan sát. Đây là một tiêu chí quan trọng của Karl Popper để phân biệt khoa học với giả khoa học.

Hình Thức Ngữ Ngôn Học (形式语言学 – Hình Thức Ngữ Ngôn Học): Ngôn ngữ học hình thức, nghiên cứu các khía cạnh hình thức của ngôn ngữ (cú pháp, ngữ nghĩa) bằng các công cụ toán học và logic.

hoàn chỉnh Turing (图灵完备 – Turing Hoàn Bị): Một hệ thống các quy tắc thao tác dữ liệu (như một ngôn ngữ lập trình hoặc một máy tính) được gọi là hoàn chỉnh Turing nếu nó có thể được sử dụng để mô phỏng bất kỳ máy Turing đơn băng nào. Điều này có nghĩa là nó có khả năng tính toán bất kỳ thứ gì mà một máy tính có thể tính toán.

Vòng lặp (循环 – Tuần Hoàn): Trong lập trình, vòng lặp là một cấu trúc điều khiển lặp lại một khối lệnh cho đến khi một điều kiện nhất định được thỏa mãn.

Lý thuyết kiểu (类型论 – Loại Hình Luận): Type theory, một nhánh của logic toán học và khoa học máy tính lý thuyết, nghiên cứu các hệ thống kiểu. Các kiểu gán cho các thuật ngữ để ngăn ngừa các lỗi và cung cấp một nền tảng cho việc chứng minh tính đúng đắn của chương trình. Một số lý thuyết kiểu (như của Martin-Löf) không phải là Turing hoàn bị và không cho phép các vòng lặp không bị chặn.

Đoạn tự chỉ (断自指 – Đoạn Tự Chỉ): “Cắt đứt tự tham chiếu”. Tự tham chiếu (self-reference) là nguồn gốc của nhiều nghịch lý trong logic và lý thuyết tập hợp (ví dụ: Nghịch lý Russell). Các nỗ lực để giải quyết những nghịch lý này thường liên quan đến việc hạn chế hoặc loại bỏ các dạng tự tham chiếu nguy hiểm.

Song trọng phủ định phiên dịch (双重否定翻译 – Song Trọng Phủ Định Phiên Dịch): Double-negation translation (ví dụ, bản dịch Gödel–Gentzen) là một kỹ thuật trong logic chứng minh cho thấy logic cổ điển có thể được nhúng vào logic trực giác. Một mệnh đề P đúng trong logic cổ điển khi và chỉ khi ¬¬P (phủ định của phủ định P) đúng trong logic trực giác.

Logic cổ điển (经典逻辑 – Kinh Điển Logic): Hệ thống logic tiêu chuẩn dựa trên các nguyên lý như luật bài trung và luật mâu thuẫn.

Chủ nghĩa trực giác (直觉主义 – Trực Giác Chủ Nghĩa): Intuitionism, một trường phái triết học toán học nhấn mạnh rằng các đối tượng toán học và chứng minh toán học phải được “xây dựng” một cách trực tiếp. Nó từ chối luật bài trung cho các tập hợp vô hạn và các chứng minh bằng phản chứng không mang tính xây dựng.

Chứng minh cấu tạo (构造性证明 – Cấu Tạo Tính Chứng Minh): Một chứng minh mang tính xây dựng (constructive proof) là một chứng minh cho thấy một đối tượng toán học tồn tại bằng cách chỉ ra cách xây dựng nó. Chủ nghĩa trực giác yêu cầu các chứng minh phải mang tính xây dựng.