Chương 736: Đuổi không kịp rùa đen

Liên Tục Thống cơ số không phải Aleph-1.

Achilles nhớ lại phía trước trên tờ giấy kia liệt kê Siêu máy Turing lực lượng cấp độ Cấp độ Turing, biểu lộ nghi hoặc mà hỏi thăm:

“Có thể là, phía trước tại tấm đồ kia bề ngoài, ngươi không phải tại Turing Machine Thời gian Vô hạn phía dưới vạch một đường, đồng thời viết xuống Liên tục Số thực sao?”

Tại tấm kia Cấp độ Turing trên biểu đồ, tất cả Siêu máy Turing đều thuộc về có thể đếm được Vô Hạn cấp độ, chỉ có cuối cùng nhất Liên tục Số thực là không thể đếm Vô Hạn.

Dạng này xem ra, Cantor Giả thuyết Liên tục trong thế giới này hẳn là thành lập.

Số tự nhiên tập hợp số mũ tập, toàn thể số thực tạo thành tập hợp, toàn thể có thể đếm được số thứ tự tạo thành tập hợp, ba cơ số đều là không thể đếm Vô Hạn? 1.

“Không, các loại, ta hình như minh bạch!”

Achilles liếc nhìn trên đầu mình đỉnh lấy cái kia ánh nắng vòng tròn tán phát bạch quang, đột nhiên phản ứng lại.

“Ngươi tại trên tờ giấy kia viết là Liên tục Số thực, mà không phải Liên Tục Thống.”

“Ý của ngươi là nói, trong thế giới này, cho dù là tất cả số thực, y nguyên không cách nào lấp đầy toàn bộ mấy trục?”

Lý Hằng gật đầu nói:

“Không sai.”

“Kỳ thật cái này cũng không khó nghĩ đến, Khủng hoảng Toán học Lần hai chính là Thực Vô hạn cùng Tiềm Vô hạn hỗn loạn mang tới nguy cơ —— càng chuẩn xác mà nói, là vô cùng bé lượng cùng 0 ở giữa mâu thuẫn.”

“Leibniz liền tại chính mình vi phân và tích phân bên trong sử dụng Thực Vô cùng nhỏ, đây cũng là Giám mục Berkeley công kích vi phân và tích phân lý luận cơ sở chủ yếu phương hướng.”

“Từ bản thể luận bên trên nhìn, Leibniz đem vô cùng bé lượng coi như là vạn vật bởi vậy tạo thành không thể lại phân nhỏ nhất nguyên tử, nó là tuyệt đối giá trị nhỏ hơn bất luận cái gì số thực Thực Vô cùng nhỏ.”

“Cauchy cùng Weierstrass cực hạn khái niệm, Phân cắt Dedekind dùng số hữu tỷ đối liên tục thẳng tắp tiến hành cắt chém, Cantor dùng số hữu tỷ danh sách bày tỏ thuật toán Vô Hạn con số nhỏ phương pháp, ba cái này lẫn nhau đều là đồng giá.”

“Bọn họ đều định nghĩa một cái đông đúc, liên tục, hoàn mỹ số thực hình mẫu.”

“Thế nhưng, trở lên những này lý luận đều chỉ thuộc về Phân tích Tiêu chuẩn phạm vi.”

“Có Phân tích Tiêu chuẩn, tự nhiên là có Phân tích Phi tiêu chuẩn.”

Tựa như đã có giới hạn tại trên mặt phẳng Hình học Euclid, cũng có mở rộng đến cao duy không gian Hình học Phi Euclid đồng dạng.

Tại Hình học Euclid bên trong thành lập kết luận, tại Hình học Phi Euclid bên trong lại không nhất định thành lập.

Cả hai cũng không phải là đơn giản ai đúng ai sai vấn đề.

Làm là tất cả suy luận chứng minh tiền đề công lý đều thay đổi, đến tiếp sau được đến định lý cùng kết luận tự nhiên là sẽ hoàn toàn khác biệt.

Hình học Euclid bên trong không chứng nhận rõ ràng song song công lý không còn là toàn bộ lý luận cơ sở, nó chỉ là Hình học Phi Euclid bên trong một loại tình huống đặc thù.

Loại này tập hợp luận công lý gia tăng cùng sửa chữa cũng không phải là tùy ý mà làm.

Như không cần thiết, chớ tăng thực thể.

Tốt nhất tập hợp luận công lý Hệ Thống chính là có thể lấy nhất thiếu tiền đề được đến nhiều nhất kết luận.

Nếu như có thể từ định nghĩa số tự nhiên Tiên đề Peano xuất phát giải quyết tất cả vấn đề, tự nhiên là không cần vẽ vời thêm chuyện đi cải biến cơ sở nhất công lý.

Nhưng bởi vì Định lý Bất toàn Gödel, tất cả toán học hệ thống đều tồn tại tự thân nội bộ không thể chứng minh mệnh đề.

Dưới loại tình huống này, vì có thể nghiên cứu những này không thể chứng nhận vấn đề, chỉ có thể gia tăng càng nhiều công lý, đem Hệ Thống mở rộng là càng lớn hệ thống.

Phân tích Phi tiêu chuẩn kế thừa Leibniz ý nghĩ, đem Thực Vô hạn tư tưởng từ có hạn lớn số vô nghĩa mở rộng đến những cái kia chân chính Vô Hạn mấy.

Bất luận cái gì khoa nguyên lý luận đều có nghiên cứu của nó đối tượng, những này đối tượng hình thành một cái không trống không tập hợp, gọi là luận vực.

‘Theo sát 1 kế tiếp mấy là cái gì?’

Vấn đề này đặt ở thuật toán số tự nhiên phạm vi bên trong, đáp án là 2.

Đặt ở hệ nhị phân số tự nhiên phạm vi bên trong, đáp án là 10.

Nhưng mở rộng đến số hữu tỷ phạm vi bên trong, tư tưởng có hạn Nhân loại liền không cách nào tìm tới theo sát 1 kế tiếp mấy.

Rõ ràng, cùng một vấn đề đáp án lại bởi vì nghiên cứu phạm vi khác biệt mà phát sinh thay đổi.

Trước đó, Lý Hằng cùng Achilles thảo luận tất cả đều tại Phân tích Tiêu chuẩn quy định số thực phạm vi bên trong.

Số thực vực là lớn nhất Trường Sắp thứ tự Archimedes, có đủ Tính chất Archimedes.

Tại mấy trục bên trên lấy ra tùy ý tiểu nhân một đoạn a, cùng với tùy ý lớn một đoạn b, tổng có thể tìm tới một cái số tự nhiên n, dùng n đường nét đoạn a chiều dài cộng lại lớn hơn đoạn thẳng b.

Số thực vực định nghĩa vực là (- ∞ + ∞) nó biểu lộ rõ ràng số thực trục hai đầu Vô Hạn kéo dài, là một cái Tiềm Vô hạn khoảng.

Tại số thực vực bên trong, đồng thời không bao gồm Thực Vô cùng lớn cùng Thực Vô cùng nhỏ.

Phân tích Phi tiêu chuẩn thì là Trường Số thực R mở rộng, dẫn vào vô tận con số nhỏ cùng vô cùng lớn mấy.

Tại Phân tích Phi tiêu chuẩn định nghĩa mấy trục bên trên, có thể lấy ra ra một đoạn chiều dài là Thực Vô cùng tiểu nhân đoạn thẳng.

Đường dây này đoạn độ dài ít hơn bất luận cái gì quy định sẵn số thực, cho nên cũng liền lại không có đủ Tính chất Archimedes.

Phân tích Tiêu chuẩn bên trong số thực là Real number.

Phân tích Phi tiêu chuẩn định nghĩa mấy tập được xưng là Tập hợp Siêu số thực, hyperreal number.

Đây là một cái so số thực tập càng lớn tập hợp, đem số thực xem như nó tập.

Lý Hằng đưa tay từ Achilles trên đầu lấy xuống cái kia hoàn mỹ vòng tròn, không tốn sức chút nào liền đem cái này tiếp nhận không thể đếm Vô Hạn lực lượng viên kéo đứt, kéo thẳng, làm thành một đầu tản ra bạch quang mấy trục.

Một màn này nhìn đến Achilles trong lòng nhảy dựng, nguyên lai cái đồ chơi này chính là dùng nàng phía trước thấy qua đầu kia mấy trục làm ra.

Không, hiện ở đây, có lẽ đem đầu này mấy trục gọi là số thực trục càng thích hợp.

Nàng vị trí cái này cái thế giới hiển nhiên không hề chỉ giới hạn tại Phân tích Tiêu chuẩn định nghĩa số thực tập phạm vi.

Cho dù là số lượng đạt tới? 1 toàn thể số thực, vẫn như cũ không cách nào hình thành một đầu hoàn mỹ vô khuyết, không có rảnh khe hở mấy trục.

“Xem chúng ta phía trước đối Nghịch lý Zeno phương thức giải quyết.”

“Chạy cự li dài kiện tướng Achilles từ mấy trục bên trên 0 điểm vị trí xuất phát, bước đầu tiên đi ra 0. 9, bước thứ hai đi ra 0. 09, như vậy Vô Hạn thêm vào, cuối cùng đi ra Vô Hạn bước.”

“Đi ngang qua Vô Hạn lần cất bước về sau, nàng từ 0 đi tới 1, đuổi kịp Zeno cái kia phiền lòng rùa đen.”

“0. 999…=1, cả hai là Phân tích Tiêu chuẩn bên trong định nghĩa cùng một cái số thực khác biệt cách viết.”

“Thế nhưng, nếu như không hề giới hạn tại số thực vực phạm vi, đem đầu này mấy trục lên điểm bày mấy mở rộng đến Siêu thực số vực…”

Nói đến chỗ này, Lý Hằng ánh mắt nhìn về phía Achilles trên bả vai dán vào lời ghi chép.

Tại “từng cái đối ứng, cơ số” “có thứ tự sắp xếp, số thứ tự” “luật bài trung” ba tờ giấy bên ngoài, còn có cuối cùng mới dán đi lên một tờ giấy.

“Phân cắt Dedekind?”

Achilles theo hắn ánh mắt nghiêng đầu một chút, nhìn xem trên bả vai mình tờ giấy này như có điều suy nghĩ.

Thì ra là thế.

Viết luật bài trung tờ giấy đối ứng là lần thứ ba toán học nguy cơ phía sau sinh ra Định lý Bất toàn Gödel cùng Vấn đề Dừng, cùng với Siêu máy Turing lực lượng tầng cấp.

Từ có hạn đến có thể đếm được Vô Hạn, lại đến không thể biết không thể luận không thể đếm Vô Hạn.

Nhưng tất cả những thứ này đều giới hạn tại số thực phạm vi trong vòng.

Tờ thứ tư lời ghi chép bên trên nội dung mới là bọn họ nghiên cứu Liên Tục Thống cần phải đối mặt một vấn đề cuối cùng.

Tất cả số thực thật tạo thành một đầu không có khe hở mấy trục sao?

Đối có hạn phàm nhân mà nói, vấn đề này sẽ không có gì có thể nghiệm chứng kết quả.

Nếu như toàn thể số thực vẫn như cũ không cách nào lấp đầy mấy trục, vậy liền biểu lộ rõ ràng Liên Tục Thống cơ số so không thể đếm Vô Hạn? 1 còn muốn lớn, ít nhất là? 2 hoặc là càng lớn.

Nhưng số thực tập cũng đã là không thể biết không thể luận tồn tại, chớ nói chi là so với nó còn lớn tập hợp.

“Phân cắt Dedekind…”

Achilles đối lên trước mặt màu trắng mấy trục khoa tay bàn tay của mình, làm ra một cái giống như là cắt bánh ngọt động tác tay.

Cái gọi là Phân cắt Dedekind, là dùng số hữu tỷ xem như lưỡi đao đi cắt chém một đầu liên tục không có khe hở thực thẳng tắp, đem số thực tập cắt chém thành hai cái trái phải bài xích nhau tập hợp.

Làm cắt chém ra bên trái tập trung không có lớn nhất nguyên tố, bên phải tập trung cũng không có nhỏ nhất nguyên tố, vậy liền đại biểu chém trúng mấy trục bên trên số hữu tỷ ở giữa khe hở.

Loại này khe hở là một khối không phải là 0 vô cùng bé khu vực.

Bởi vì số hữu tỷ định nghĩa là số nguyên so đấu p/q, cho nên giữa bọn chúng mỗi một cái khe hở đều là một đầu không phải là không đoạn thẳng.

Đường dây này đoạn bên trong có Vô Hạn nhiều đại số số vô nghĩa cùng vượt qua số vô nghĩa, những này điểm tập hợp tạo thành mấy trục bên trên một đoạn không phải là 0 lại nhỏ hơn tùy ý quy định sẵn số thực chiều dài.

“Lại nhiều cho ngươi một điểm nhắc nhở.”

Lý Hằng vỗ tay phát ra tiếng nói:

“Hướng về số thực trục bên trên ném một cái lý tưởng điểm hình dáng phi tiêu, nó trúng đích 1 xác suất là 0.”

“Đồng dạng, nó trúng đích số tự nhiên, số hữu tỷ, đại số số vô nghĩa những này số lượng là có thể đếm được Vô Hạn đếm được xác suất hiển nhiên cũng là 0.”

“Không những như vậy, liền xem như không thể đếm Vô Hạn cũng đồng dạng.”

“Làm một ví dụ, Tập hợp Số Liouville có thể cùng số thực tập từng cái đối ứng, nó là một cái không thể đếm Vô Hạn tập hợp.”

“Nhưng Tập hợp Số Liouville nhưng là một số 0 đo tập, cũng chính là nói nó tại số thực trục bên trên chiếm cứ khu vực là 0.”

“Có hạn mấy, có thể đếm được Vô Hạn, không thể đếm Vô Hạn.”

“Rõ ràng lẫn nhau ở giữa có cách nhau một trời một vực, lại đều tại mấy trục bên trên chiếm cứ lấy một khối lớn nhỏ là 0 khu vực.”

“Điểm và đường, cái này hai khái niệm ở giữa chênh lệch so với thường nhân trong tưởng tượng còn phải lớn hơn nhiều, hoàn toàn không phải chỉ là giảm chiều không gian đả kích trình độ.”

“Từ điểm tập hợp xuất phát, từ đuôi đến đầu đi suy nghĩ mấy trục tính liên tục, loại này phương pháp là vô dụng.”

“Cho dù không thể đếm Vô Hạn số lượng điểm tạo thành tập hợp, cũng vô pháp chưa bao giờ lớn nhỏ điểm vượt qua đến có chiều dài đoạn thẳng.”

Mặc cho một số thực đều đối ứng mấy trục bên trên duy nhất một điểm, mặt khác, mấy trục bên trên mỗi một chút cũng đều duy nhất đại biểu một cái số thực.

Vì vậy, số thực tập R cùng mấy trục bên trên điểm có từng cái đối ứng quan hệ.

Thế nhưng, làm sao chưa bao giờ chiều dài điểm vượt qua đến có chiều dài đoạn thẳng, quá trình này nhưng thật ra là mơ hồ không rõ.

Số thực số lượng là xa so với số hữu tỷ càng nhiều không thể đếm Vô Hạn, bọn họ tại mấy trục bên trên so đông đúc số hữu tỷ càng đông đúc.

Thế nhưng, vẻn vẹn dẫn vào một cái so có thể đếm được Vô Hạn càng lớn không thể đếm Vô Hạn, cũng không thể hoàn thành từ điểm đến đoạn thẳng vượt qua.

Achilles ngưng thần suy tư, nhớ lại hai người từ số tự nhiên thế giới bắt đầu một đường đi đến bây giờ kinh lịch, dần dần có mạch suy nghĩ.

Có lẽ ngược lại suy nghĩ, từ liên tục không có khe hở thẳng tắp làm điểm xuất phát, nghiên cứu thẳng tắp Vô Hạn có thể phân tính.

Dùng số hữu tỷ cắt chém thẳng tắp, có thể được đến vô số cái chiều dài không phải là 0 vô cùng bé đoạn thẳng.

Những dây này đoạn chiều dài là tiềm ẩn vô cùng bé, bọn họ nội bộ ẩn giấu số vô nghĩa bổ khuyết mấy trục bên trên số hữu tỷ ở giữa khe hở.

Đến nơi đây đều không có cái gì không rõ rệt địa phương, dùng số hữu tỷ cắt chém thẳng tắp được đến chính là vô số đầu chiều dài không phải là 0 vô cùng bé đoạn thẳng.

Cái này kỳ thật càng phù hợp hiện thực trong tính toán vi phân và tích phân tư tưởng.

Có hạn Nhân loại không có khả năng chính xác tính toán số vô nghĩa, tất cả số vô nghĩa đều chỉ là dùng số hữu tỷ đi xấp xỉ tới gần.

Thực tế trong tính toán xử lý số vô nghĩa kỳ thật không phải một cái hằng số, mà là một cái lượng biến đổi, đối ứng tại mấy trục bên trên một cái khoảng.

Vấn đề ở chỗ, số thực hình mẫu đến tiếp sau lại đem thuật toán Vô Hạn con số nhỏ định nghĩa số vô nghĩa xem như mấy trục bên trên duy nhất xác định điểm, dùng vô số điểm tới hình thành những này có không phải là 0 chiều dài vô cùng bé đoạn thẳng.

Đến tột cùng như thế nào mới có thể chưa bao giờ chiều dài điểm vượt qua đến có chiều dài đoạn thẳng, quá trình này đồng thời không rõ rệt sáng tỏ.

Nếu như, tại Phân cắt Dedekind cơ sở bên trên tiến thêm một bước.

Tất nhiên có thể dùng số hữu tỷ xem như lưỡi đao đi cắt chém thẳng tắp, vậy tại sao không thể dùng số thực xem như lưỡi đao cắt chém thẳng tắp?

Ý nghĩ trong lòng dần dần thành hình, Achilles nhìn hướng trước mắt màu trắng mấy trục bên trên chữ số 1 vị trí.

“Nếu như cho phép không vì 0 Thực Vô cùng nhỏ tồn tại, mấy trục bên trên liền có vô số đầu chiều dài so bất luận cái gì số thực đều nhỏ, nhưng như cũ không vì 0 đoạn thẳng.”

“Mỗi một cái số vô nghĩa đều là một cái đã hoàn thành Thực Vô hạn danh sách, thế nhưng, những này số vô nghĩa ở giữa vẫn như cũ còn cất giấu khe hở.”

“Achilles cho dù đi qua Vô Hạn bước, nó cũng vẫn như cũ đuổi không kịp cái kia Zeno rùa đen!”

Nâng lên bàn tay cuối cùng chém xuống, mục tiêu chính là mấy trục bên trên 1.

Tồn tại Thực Vô cùng nhỏ, như vậy 0. 99…≠1.

Giữa hai bên còn có một đầu nhỏ hơn bất luận cái gì số thực, nhưng như cũ chiều dài không vì 0 Thực Vô cùng nhỏ đoạn thẳng.

Chính là những này phảng phất không có lớn nhỏ điểm đoạn thẳng bổ khuyết số thực ở giữa khe hở, tựa như số vô nghĩa bổ khuyết số hữu tỷ ở giữa khe hở đồng dạng.

Những này Thực Vô cùng nhỏ đoạn thẳng chính là Siêu thực số vị trí!

Bịch!

Tia lửa chói mắt ở trước mắt sáng lên, Achilles trên bàn tay truyền đến một trận đau đớn kịch liệt cảm giác, để nàng trầm thấp kêu lên một tiếng sợ hãi.

“Ai nha?!”

Nàng nghĩ cũng không có vấn đề a.

Trước mắt màu trắng mấy trục hoàn hảo không chút tổn hại, hoàn toàn không giống như là phía trước tại Lý Hằng trên tay lúc như thế, dễ dàng liền bị hắn kéo thành hai đoạn.

Lý Hằng lại lần nữa dùng một mặt nhìn đồ đần biểu lộ nhìn xem nàng, khóe miệng mang theo một ít tiếu ý nói:

“Mặc dù so trước đây thông minh một chút, nhưng quả nhiên vẫn là cái nhỏ tên ngốc.”

“Quên chúng ta phía trước là thế nào đến Newton cùng Leibniz vị trí số vô nghĩa thế giới sao?”

Achilles ánh mắt mờ mịt một cái chớp mắt, ngay sau đó gò má có chút phiếm hồng, không quá tốt ý tứ thoáng nghiêng đầu.

“Hắc hắc, ta không cẩn thận quên.”

Không có cách nào, nàng tại cái này Hỗn Độn không thể biết thế giới bên trong đếm ức vạn cái kỷ nguyên chữ số, rất nhiều chi tiết đều lăn lộn tại những cái kia buồn tẻ vô vị ký ức bên trong.

Hiện tại nhớ tới, nàng lúc ấy là dùng trước ngực mang theo đài này Máy Zeno giết chết Pythagoras, phá vỡ không nhìn thấy cuối vô cùng bé thế giới, tìm tới núp ở số hữu tỷ ở giữa số vô nghĩa.

Càng chuẩn xác mà nói pháp là, Tiềm Vô cùng tiểu thế giới.

Máy Zeno là Siêu máy Turing, có đủ có thể đếm được Vô Hạn? 0 lực lượng, số hữu tỷ thì là hai cái có hạn lớn số nguyên so đấu, tìm tới Tiềm Vô cùng tiểu thế giới tự nhiên không nói chơi.

Nhưng Siêu thực số nhưng là tồn tại ở hai cái số thực ở giữa.

Mỗi một cái số thực đều là một cái đã hoàn thành vô tận danh sách, là có thể đếm được Vô Hạn? 0 cấp bậc lực lượng.

Cứ thế mà suy ra, muốn tìm được số thực ở giữa khe hở, đi hướng Siêu thực số vị trí Thực Vô cùng tiểu thế giới, ít nhất cần cao hơn nữa một cái cấp độ lực lượng, cũng chính là không thể đếm Vô Hạn? 1 cấp bậc lực lượng.

Sinh linh chỉ có thể nhìn trộm đến cao hơn chính mình một cái cấp độ thế giới, nếu như ngăn cách hai cái Vô Hạn cấp độ, nơi đó chính là không thể biết không thể luận thế giới.

Không có khả năng thay đổi thực tiễn lực lượng, cũng chỉ có thể bị giam cầm ở thế giới cũ.

“Siêu thực số vực có ba cái tạo thành bộ phận.

Vô cùng bé δ, e, nó giá trị tuyệt đối so bất luận cái gì số thực đều muốn nhỏ.

Có hạn mấy, nó chính là số thực, bất luận cái gì quy định sẵn số thực đều là có hạn lớn.

Vô Hạn toàn cục, w, nơi này e=1/w, nó so bất luận cái gì số thực đều muốn lớn.”

“Dẫn vào Vô Hạn toàn cục cùng vô cùng bé mấy về sau, tại Siêu thực số vực bên trong, 0. 99… Cùng 1 bày tỏ không phải mấy trục bên trên cùng một cái mấy.”

“Giữa hai bên vẫn tồn tại vô tận nhiều cái cùng bọn họ kém một cái vô cùng bé lượng Siêu thực số, cùng loại với 1-e, 1-e^2 các loại.”

“Nhưng những này Vô Hạn toàn cục cùng Vô Hạn con số nhỏ chỉ là cơ sở nhất bộ phận.”

“Phía trước chúng ta tại Cantor bệnh viện tâm thần bên trong đều có thể dùng Tiên đề Tập hợp Lũy thừa từ? 0 bắt đầu một đường hướng lên trên Vô Hạn nhảy vọt, ngươi sẽ không cảm thấy chỉ là dùng số thực cắt chém một lần mấy trục liền đến phần cuối đi?”

A, đã sớm nên đoán được.

Achilles đối với cái này không ngạc nhiên chút nào, cái này có thể không có chuyện gì bất quá ba thuyết pháp.

Tất nhiên có thể cắt chém một lần, hai lần, kia dĩ nhiên liền có thể tiếp tục cắt chém vô số lần.

Từ điểm đến dây, từ ly tán đến liên tục, từ bất động đến vận động.

Giữa hai bên chênh lệch xa so với nàng ban đầu cho rằng còn phải lớn hơn nhiều.

Trong thế giới này, Liên Tục Thống cơ số xa không chỉ là? 1 hoặc là? 2.

Bất quá, dạng này vừa vặn, càng xa càng tốt.

Chân lý vô tận, nếu như hai người bọn họ nghiên cứu cũng vĩnh viễn sẽ không đi đến phần cuối liền tốt.